1. Representação Visual dos Grafos
Abaixo o gráfico contendo o histograma dos pesos das arestas de cada grafo do Twitter coletado. Uma distribuição chi-quadrado é ajustada para estes pesos.
Uma sequência de 4 grafos seguindo o modelo de Barabasi-Albert é criada, $$ G = (g_0, g_1, g_2, g_3), $$ onde cada um dos grafos $g_0, g_1, g_2, g_3$ satisfaz a seguite restrição
A seguir, para cada $g_i = (V_i, A_i)$, tomamos 100 subgrafos de $g_i$: $$ g_{i,1}^{p}, g_{i,2}^{p}, \ldots, g_{i,100}^{p}, $$ com $i = 0,1,2,3$ e $p \in [0,1]$, onde $$ g_{i,j}^{p} = (V_{i,j}^p, A_{i,j}^p) \subseteq g_i, \quad \text{tal que } |A_{i,j}^{p}| = p |A_i|. $$
Finalmente, para cada grafo $g_i$ tomaremos as amostras mencionadas acima fazendo $p$ variar de $30\%$ até o quanto o computador aguentar. Desta forma, obtemos:
Vale notar, também, que todo grafo amostrado aqui terá, associado a sua aresta, um peso dado pela distribuição $\chi^2$ mencionada na Seção anterior.
A seguir os gráficos das curvas médias: $$ \bar{g}_i^p(t) = \frac{\sum_{j=1}^{100} g_{i,j}^p(t)}{100}, \text{ com } t \in [0, \infty], $$ fazendo variar $p$
| dim 0 | dim 1 |
|---|---|
| $|\bar{g}_0^{0.300} - \bar{g}_0^{0.325}| = 70.59$ | $ |\bar{g}_0^{0.300} - \bar{g}_0^{0.325}| = 787.16 $ |
| $|\bar{g}_0^{0.325} - \bar{g}_0^{0.350}| = 83.72$ | $ |\bar{g}_0^{0.325} - \bar{g}_0^{0.350}| = 240.37$ |
| $|\bar{g}_0^{0.350} - \bar{g}_0^{0.375}| = 75.04$ | $ |\bar{g}_0^{0.350} - \bar{g}_0^{0.375}| = 359.87$ |
| $|\bar{g}_0^{0.375} - \bar{g}_0^{0.400}| = 55.47$ | $ |\bar{g}_0^{0.375} - \bar{g}_0^{0.400}| = 88.58$ |
| $|\bar{g}_0^{0.400} - \bar{g}_0^{0.425}| = 27.89$ | $ |\bar{g}_0^{0.400} - \bar{g}_0^{0.425}| = 186.50$ |
| $|\bar{g}_0^{0.425} - \bar{g}_0^{0.450}| = 66.86$ | $ |\bar{g}_0^{0.425} - \bar{g}_0^{0.450}| = 125.09$ |
| $|\bar{g}_0^{0.450} - \bar{g}_0^{0.475}| = 77.87$ | $ |\bar{g}_0^{0.450} - \bar{g}_0^{0.475}| = 180.43$ |
| $|\bar{g}_0^{0.475} - \bar{g}_0^{0.500}| = 57.14$ | $ |\bar{g}_0^{0.475} - \bar{g}_0^{0.500}| = 108.82$ |
| $|\bar{g}_0^{0.500} - \bar{g}_0^{0.525}| = 27.80$ | $ |\bar{g}_0^{0.500} - \bar{g}_0^{0.525}| = 157.14$ |
| $|\bar{g}_0^{0.525} - \bar{g}_0^{0.550}| = 60.45$ | $ |\bar{g}_0^{0.525} - \bar{g}_0^{0.550}| = 59.66$ |
| $|\bar{g}_0^{0.550} - \bar{g}_0^{0.575}| = 67.84$ | $ |\bar{g}_0^{0.550} - \bar{g}_0^{0.575}| = 97.43$ |
| $|\bar{g}_0^{0.575} - \bar{g}_0^{0.600}| = 34.79$ | $ |\bar{g}_0^{0.575} - \bar{g}_0^{0.600}| = 122.32$ |
| $|\bar{g}_0^{0.600} - \bar{g}_0^{0.625}| = 72.48$ | $ |\bar{g}_0^{0.600} - \bar{g}_0^{0.625}| = 25.12 $ |
| dim 0 | dim 1 |
|---|---|
| $|\bar{g}_1^{0.300} - \bar{g}_1^{0.325}| = 120.98$ | $|\bar{g}_1^{0.300} - \bar{g}_1^{0.325}| = 581.44$ |
| $|\bar{g}_1^{0.325} - \bar{g}_1^{0.350}| = 18.98$ | $|\bar{g}_1^{0.325} - \bar{g}_1^{0.350}| = 235.51$ |
| $|\bar{g}_1^{0.350} - \bar{g}_1^{0.375}| = 79.95$ | $|\bar{g}_1^{0.350} - \bar{g}_1^{0.375}| = 237.11$ |
| $|\bar{g}_1^{0.375} - \bar{g}_1^{0.400}| = 73.19$ | $|\bar{g}_1^{0.375} - \bar{g}_1^{0.400}| = 86.15$ |
| $|\bar{g}_1^{0.400} - \bar{g}_1^{0.425}| = 72.13$ | $|\bar{g}_1^{0.400} - \bar{g}_1^{0.425}| = 225.75$ |
| $|\bar{g}_1^{0.425} - \bar{g}_1^{0.450}| = 27.55$ | $|\bar{g}_1^{0.425} - \bar{g}_1^{0.450}| = 242.38$ |
| $|\bar{g}_1^{0.450} - \bar{g}_1^{0.475}| = 103.13$ | $|\bar{g}_1^{0.450} - \bar{g}_1^{0.475}| = 152.52$ |
| $|\bar{g}_1^{0.475} - \bar{g}_1^{0.500}| = 31.40$ | $|\bar{g}_1^{0.475} - \bar{g}_1^{0.500}| = 106.86$ |
| $|\bar{g}_1^{0.500} - \bar{g}_1^{0.525}| = 69.49$ | $|\bar{g}_1^{0.500} - \bar{g}_1^{0.525}| = 153.27$ |
| $|\bar{g}_1^{0.525} - \bar{g}_1^{0.550}| = 68.41$ | $|\bar{g}_1^{0.525} - \bar{g}_1^{0.550}| = 55.34$ |
| $|\bar{g}_1^{0.550} - \bar{g}_1^{0.575}| = 48.67$ | $|\bar{g}_1^{0.550} - \bar{g}_1^{0.575}| = 140.76$ |
| $|\bar{g}_1^{0.575} - \bar{g}_1^{0.600}| = 37.11$ | $|\bar{g}_1^{0.575} - \bar{g}_1^{0.600}| = 73.84$ |
| $|\bar{g}_1^{0.600} - \bar{g}_1^{0.625}| = 52.58$ | $|\bar{g}_1^{0.600} - \bar{g}_1^{0.625}| = 105.97$ |
| dim 0 | dim 1 |
|---|---|
| $|\bar{g}_2^{0.300} - \bar{g}_2^{0.325}| = 57.73$ | $|\bar{g}_2^{0.300} - \bar{g}_2^{0.325}| = 632.46$ |
| $|\bar{g}_2^{0.325} - \bar{g}_2^{0.350}| = 79.67$ | $|\bar{g}_2^{0.325} - \bar{g}_2^{0.350}| = 363.76$ |
| $|\bar{g}_2^{0.350} - \bar{g}_2^{0.375}| = 61.17$ | $|\bar{g}_2^{0.350} - \bar{g}_2^{0.375}| = 111.72$ |
| $|\bar{g}_2^{0.375} - \bar{g}_2^{0.400}| = 80.94$ | $|\bar{g}_2^{0.375} - \bar{g}_2^{0.400}| = 300.25$ |
| $|\bar{g}_2^{0.400} - \bar{g}_2^{0.425}| = 31.34$ | $|\bar{g}_2^{0.400} - \bar{g}_2^{0.425}| = 122.29$ |
| $|\bar{g}_2^{0.425} - \bar{g}_2^{0.450}| = 49.73$ | $|\bar{g}_2^{0.425} - \bar{g}_2^{0.450}| = 82.12$ |
| $|\bar{g}_2^{0.450} - \bar{g}_2^{0.475}| = 103.52$ | $|\bar{g}_2^{0.450} - \bar{g}_2^{0.475}| = 185.01$ |
| $|\bar{g}_2^{0.475} - \bar{g}_2^{0.500}| = 51.67$ | $|\bar{g}_2^{0.475} - \bar{g}_2^{0.500}| = 91.67$ |
| $|\bar{g}_2^{0.500} - \bar{g}_2^{0.525}| = 70.00$ | $|\bar{g}_2^{0.500} - \bar{g}_2^{0.525}| = 154.05$ |
| $|\bar{g}_2^{0.525} - \bar{g}_2^{0.550}| = 61.10$ | $|\bar{g}_2^{0.525} - \bar{g}_2^{0.550}| = 107.68$ |
| $|\bar{g}_2^{0.550} - \bar{g}_2^{0.575}| = 31.00$ | $|\bar{g}_2^{0.550} - \bar{g}_2^{0.575}| = 87.41$ |
| $|\bar{g}_2^{0.575} - \bar{g}_2^{0.600}| = 59.55$ | $|\bar{g}_2^{0.575} - \bar{g}_2^{0.600}| = 39.68$ |
| $|\bar{g}_2^{0.600} - \bar{g}_2^{0.625}| = 66.52$ | $|\bar{g}_2^{0.600} - \bar{g}_2^{0.625}| = 87.63$ |
| dim 0 | dim 1 |
|---|---|
| $|\bar{g}_3^{0.300} - \bar{g}_3^{0.325}| = 33.90$ | $|\bar{g}_3^{0.300} - \bar{g}_3^{0.325}| = 1174.25$ |
| $|\bar{g}_3^{0.325} - \bar{g}_3^{0.350}| = 45.74$ | $|\bar{g}_3^{0.325} - \bar{g}_3^{0.350}| = 295.73$ |
| $|\bar{g}_3^{0.350} - \bar{g}_3^{0.375}| = 142.08$ | $|\bar{g}_3^{0.350} - \bar{g}_3^{0.375}| = 342.38$ |
| $|\bar{g}_3^{0.375} - \bar{g}_3^{0.400}| = 63.20$ | $|\bar{g}_3^{0.375} - \bar{g}_3^{0.400}| = 129.89$ |
| $|\bar{g}_3^{0.400} - \bar{g}_3^{0.425}| = 48.38$ | $|\bar{g}_3^{0.400} - \bar{g}_3^{0.425}| = 92.99$ |
| $|\bar{g}_3^{0.425} - \bar{g}_3^{0.450}| = 56.86$ | $|\bar{g}_3^{0.425} - \bar{g}_3^{0.450}| = 224.49$ |
| $|\bar{g}_3^{0.450} - \bar{g}_3^{0.475}| = 108.56$ | $|\bar{g}_3^{0.450} - \bar{g}_3^{0.475}| = 97.02$ |
| $|\bar{g}_3^{0.475} - \bar{g}_3^{0.500}| = 37.31$ | $|\bar{g}_3^{0.475} - \bar{g}_3^{0.500}| = 48.80$ |
| $|\bar{g}_3^{0.500} - \bar{g}_3^{0.525}| = 71.07$ | $|\bar{g}_3^{0.500} - \bar{g}_3^{0.525}| = 206.13$ |
| $|\bar{g}_3^{0.525} - \bar{g}_3^{0.550}| = 67.84$ | $|\bar{g}_3^{0.525} - \bar{g}_3^{0.550}| = 163.93$ |
| $|\bar{g}_3^{0.550} - \bar{g}_3^{0.575}| = 25.53$ | $|\bar{g}_3^{0.550} - \bar{g}_3^{0.575}| = 103.95$ |
| $|\bar{g}_3^{0.575} - \bar{g}_3^{0.600}| = 76.10$ | $|\bar{g}_3^{0.575} - \bar{g}_3^{0.600}| = 58.88$ |
| $|\bar{g}_3^{0.600} - \bar{g}_3^{0.625}| = 43.94$ | $|\bar{g}_3^{0.600} - \bar{g}_3^{0.625}| = 131.91$ |
Dados os dois grupos de grafos:
Para cada grafo destes agrupamentos, denotado por $g_{i,j}$, tomaremos 690 subgrafos $$ g_{i,j}^{1, \mathbf{p}}, g_{i,j}^{2, \mathbf{p}}, \ldots g_{i,j}^{690, \mathbf{p}}, $$ amostrados segundo uma distribuição uniforme, aplicada as arestas dos grafos $g_i$, tal que, cada subgrafo $g_{i,j}^{l,\mathbf{p}} $ satisfaz
Para cada subgrafo $g_{i,j}^{l, \mathbf{p}}$ calcularemos seu diagrama de persistência de caminhos de dimensão 0 e 1. Destes diagramas estaremos interessados em avaliar os seus funcionais de persistência, mais especificamente: as silhuetas
Sendo assim, cada subgrafo $g_{i,j}^{l, \mathbf{p}}$ fornece curvas para dimensão 0 e 1 com a seguinte cara:
Observação: Estaremos interessados em estudar o comportamento dos valores pMax, 10%pMax, Area das curvas de persistência para as dimensões 0 e 1.
Consequentemente, denotando o conjunto de todas as amostras por $$ \mathcal{A} = \{ g_{i,j}^{l, \mathbf{p}}; i = 1, 2, j = 1,2,3, l = 1,2, \ldots 690 \} $$ estaremos interessado em estudar a transformação $$ \begin{align} f_{\mathbf{p}}: \mathcal{A} & \to \mathbb{R}^6 \\ g_{i,j}^{l, \mathbf{p}} & \mapsto ( \text{pMax}_{0}, \text{10%pMax}_{0}, \text{area}_{0}, \text{pMax}_{1}, \text{10%pMax}_{1}, \text{area}_{1}, ) \end{align} $$ onde o índice 0 acima indica dimensão 0 e 1 indica dimensão 1.
